Neste post abordaremos um dos principais assuntos da matemática que caem em concursos militares, a progressão aritmética ou simplesmente (P.A.).
A progressão aritmética é frequentemente abordada em concursos militares, vestibulares, ENEM e até em concurso públicos, na parte de raciocínio lógico por se tratar de um tipo de sequência. Dessa forma, antes de estudarmos a progressão aritmética (P.A.) vamos iniciar o nosso estudo pela definição de sequência.
REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA
Representaremos uma sequência através de termos onde usaremos geralmente a notação a_{n} com n\, \epsilon \, N^{*} onde teremos
a_{n} quer dizer um termo geral ou genérico.
LEI DE FORMAÇÃO
Nos interessam as sequências que obedecem a uma lei de formação, e esta pode se dar de 3 maneiras.
I. POR RECORRÊNCIA
Temos 2 regras, uma que identifica o 1° termo (a1) e outra que permite calcular cada termo (an) a partir do antecessor (an-1).
Exemplos
* As progressões aritméticas e as progressões geométricas são exemplos de sequências de recorrência.
II. EXPRESSANDO CADA TERMO EM FUNÇÃO DE SUA POSIÇÃO
É dada uma fórmula expressando o termo geral an em função de sua posição n.
Exemplo: a_n=2n^2+3
III. POR PROPRIEDADE DOS TERMOS
É dada uma propriedade em que todos os termos devem obedecer
Exemplo
Escrever os 4 primeiros termos da sequência formada pelos números primos positivos em ordem crescente.
Sequência {2, 3, 5, 7}
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
A progressão aritmética é uma sequência de recorrência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor acrescido de um valor fixo (razão r).
DEFINIÇÃO
Dados os números a\, \epsilon \, R e r\, \epsilon \, R , a sequência é uma P.A. se e somente se
a_n=a_n-1\, +r,\, \forall \, n\, \epsilon \mathbb{N},\, n> 2 .
Exemplos
CONDIÇÃO PARA QUE 3 TERMOS EM SEQUÊNCIA FORMEM UMA P.A.
Exemplo: Encontre o valor de x para que os termos (x+1, 2x-3, 4x-2) formem, nessa ordem, uma progressão aritmética.
TERMO GERAL DA P.A.
Seja a sequência (a_1,a_2,a_3,…,a_n)
Exemplo: Sendo a P.A. (2,6,10,…) calcule o 10º termo.
Sendo a_1=2 e r=4 teremos a_10=a_1+(10-1).r=a_1+9.r=2+9.4=38
CLASSIFICAÇÃO DA P.A.
Crescente \Leftrightarrow r > 0
Constante \Leftrightarrow r = 0
Decrescente \Leftrightarrow r < 0
Exemplos
Seja a P.A. {3, 7, 11, 15, …}
A sequência é crescente pois r =4
Seja a P.A. {2, 2, 2, 2, …}
A sequência é constante pois r =0
Seja a P.A. {6, 3, 0, 3, …}
A sequência é decrescente pois r =-3
REPRESENTAÇÕES DE UMA P.A.
Exemplo
Numa progressão aritmética crescente em que a soma dos 3 primeiros termos é 18 e a soma dos quadrados dos 3 primeiros termos é 158 qual o valor do quinto termo?
Sendo uma P.A. de 3 termos escreveremos então (x-r,x,x+r,…) .
Sendo assim pelo enunciado (x-r)+x+(x+r)=18⟹3x=18⟹x=6 .
Agora temos (6-r,6,6+r) e também de acordo com o enunciado teremos
(6-r)^2+6^2+(6-r)^2=158⟹
36-12r+r^2+36+36-12r+r^2=158⟹
108+2r^2=158⟹2r^2=50⟹r^2=25⟹r=±5
Como a P.A. é crescente então r =5 .
Assim nossa P.A. é (1,6,11,…) onde a_1=1 e r =5 e assim
a_7=a_1+6r=1+6.5=21
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Numa sequência (a_{1},\,a_{2},\, a_{3},\, ...,a_{n} ) teremos as “pontas” \left \{ a_{1},\, a_{n} \right \} chamadas de extremos e o restante dos termos (a_{2},\,a_{3},\, ..., a_{n-2}, \,a_{n-1} ) chamados de meios.
Dessa forma interpolar y meios aritméticos é colocar y termos entre os extremos \left \{ a_{1},\, a_{n} \right \} .
Exemplo: Interpole 5 meios aritméticos entre 5 e 41.
teremos 7 termos (2 extremos e 5 meios), assim utilizaremos a fórmula do termo geral.
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA
Somando os termos equidistantes \left ( a_{1}+a_{n},\, a_{2}+a_{n-1},\, ...,\, a_{n}+a_{1} \right ) teremos sempre
Exemplo: Na progressão (-5,-2,1,…) qual o valor da soma dos 8 primeiros termos?
Temos a_{1}=-5 e r=3 , precisamos primeiro calcular a_{8} pois S_{8}=\frac{\left ( a_{1}+a_{n} \right ).8}{2}
Assim a_{8}=a_{1}+7r=-5+7.3=16
Agora S_{8}=\frac{\left ( a_{1}+a_{n} \right ).8}{2}=(-5+16).4=11.4=44
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Vamos fazer uma questão da EEAR como exemplo.
(EEAR 2022.1) Pedro é um tenista profissional que vem treinando 120 saques por dia. Porém, a partir de amanhã, a cada dia de treino ele fará 5 saques a mais que no treino anterior. Se o objetivo de Pedro é alcançar o dia em que treinará 180 saques, ele conseguirá isso no ____ dia de treino, considerando hoje o primeiro dia.
a) 10º
b) 12º
c) 13º
d) 15º
RESOLUÇÃO
Temos que Pedro hoje executou 120 saques e amanhã executará 125 saques e depois de amanhã 130 saques e assim por diante. Dessa forma o total de saques por dia de Pedro formará uma sequência (120, 125, 130, …, 180). Da sequência podemos ver que o termo posterior é obtido sempre somando-se 5 ao termos anterior, sendo assim a sequência é uma progressão aritmética (P.A.) de primeiro termo 120 e razão 5. Temos então que 180 será o nosso termo de ordem n e assim podemos escrever.
a_{1}=120,\, r=5 e a_{n}=180
a_{n}=a_{1}+(n-1)r \Rightarrow 180=120+(n-1).5 \Rightarrow 60=5n-5 \Rightarrow 5n=65 \Rightarrow n=13Sendo n=13 temos que Pedro completará 180 saques no 13° dia.
OPÇÃO C
A sigla EEAR significa Escola de Especialistas de aeronáutica. A EEAR fica localizada em Guaratinguetá – SP e é responsável por formar os sargentos de carreira da Força Aérea Brasileira. A EEAR possui concurso 2 vezes ao ano e o seu concurso se chama Exame de admissão ao curso de formação de sargentos (CFS). A EEAR oferta cursos em diversas especialidades, dentre elas material bélico, mecânica de aeronaves e controle de tráfego aéreo. O curso da EEAR tem a duração de 2 anos.
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Vamos ver mais uma questão da EEAR abaixo.
(EEAR 2018.1) As medidas, em cm, dos lados de um pentágono estão em Progressão Aritmética (PA). Se o perímetro desse polígono é 125 cm, o terceiro elemento da PA é
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40
RESOLUÇÃO
Vamos utilizar a notação que vimos para representar 5 termos em sequência que estão em progressão aritmética (P.A.).
(x-2r,\, x-r,\, x,\, x+r,\, x+2r)
Sendo assim de acordo com o enunciado
x-2r+ x-r+x+x+r+x+2r=125 \Rightarrow 5x=125 \Rightarrow x=25
Temos que na sequência (25-2r,\, 25-r,\, 25,\, 25+r,\, 25+2r) o nosso terceiro termo da progressão aritmética é o 25.
OPÇÃO A
Vamos ver agora uma questão da ESA.
(ESA 2019/2020) As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo são expressas por x+1, 2x e x^{2}-5 e estão em progressão aritmética, nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo.
(A) 15 cm
(B) 18 cm
(C) 20 cm
(D) 25 cm
(E) 24 cm
RESOLUÇÃO
Se temos que (x+1, 2x, x^{2}-5) forma nessa ordem uma progressão aritmética temos que
(x^{2}-5)-(2x)=(2x)-(x+1) \Rightarrow x^{2}-5-2x=2x-x-1 \Rightarrow x^{2}-2x-5=x-1
x^{2}-2x-x-5+1=0 \Rightarrow x^{2}-3x-4=0
Podemos encontrar as raízes da equação do segundo grau x^{2}-3x-4=0 usando soma e produto.
x^{2}-3x-4=0 \Rightarrow S=-\frac{(-3)}{1}=3 e P=\frac{-4}{1}=-4
Sendo assim devemos procurar 2 números que somados resultem em 3 e que multiplicados resultem em -4 onde temos os números 4 e -1 e dessa forma x=4 ou x=-1 . Porém como os termos da progressão aritmética representam os lados de um triângulo teremos que 2x>0 e dessa forma x=-1 não será possível e assim somente x=4 será solução possível da equação do 2° grau para a nossa questão.
Sendo assim nossa progressão aritmética será (x+1, 2x, x^{2}-5)=(4+1, 2.4, 4^{2}-5)=(5, 8, 11) e assim o perímetro do triângulo será 2p=5+8+11=24 cm.
OPÇÃO E
A sigla ESA significa Escola de Sargentos das Armas. A ESA fica localizada em Três Corações – MG e é responsável por formar os sargentos de carreira do Exército Brasileiro. A ESA possui concurso anualmente e o seu concurso se chama Exame de admissão ao curso de formação e graduação de sargentos (EA CFGS). A ESA oferta cursos em armas, quadros e serviços, dentre eles infantaria, material bélico, cavalaria, comunicações, aviação, dentre muitos outros. O curso da ESA tem a duração de 2 anos sendo o primeiro ano chamado de período básico.
Quer saber mais sobre a Escola de Sargentos das Armas? Clique aqui.
Vamos ver mais uma questão da ESA abaixo.
(ESA 2019/2020) A fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética é a_{n} = a_{1} + (n – 1).r , então na PA: 3 , 5 , 7, …, o milésimo termo é:
(A) 2001
(B) 1997
(C) 1999
(D) 2005
(E) 2003
RESOLUÇÃO
Sendo já afirmado pela questão que a sequência 3, 5, 7, … é uma progressão aritmética temos que a razão da P.A. é r=2 e que a_{1}=3 e podemos calcular o seu milésimo termo pela fórmula do termo geral.
a_{1000} = a_{1} + (1000 – 1).r = 3+999.2 = 3+ 1998 = 2001
OPÇÃO A
Gostou? Veja aqui toda a resolução da prova de matemática da ESA 2020/2021, ou seja o EA CFGS 2021-22.
