TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Se conhecermos a medida dos lados do ∆ABC e de um dos lados do ∆A’B’C’, então é possível calcular seus outros dois lados.
Observe que todos esses dois triângulos possuem a mesma “forma”, diferindo apenas pelo “tamanho”.
Para qualquer triângulo retângulo semelhante ao ∆ABC, é sempre possível, conhecendo-se um dos lados, calcular os outros dois.
A ideia da definição das linhas trigonométricas no triângulo retângulo é identificar características do ∆ABC que permitam calcular os lados dos triângulos retângulos semelhantes a ele sem precisar de um “triângulo matriz”. Para isso vamos lançar mão de uma característica que todos esses triângulos semelhantes têm em comum.
Eles possuem os mesmos ângulos. Assim, para todos os triângulos retângulos semelhantes ao ∆ABC, a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa é a mesma. A essa razão damos o nome de seno de Bˆ . Da mesma forma, a razão entre o cateto adjacente ao ângulo Bˆ e a hipotenusa é constante. A essa razão damos o nome de cosseno de Bˆ . A razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo Bˆ é chamada de tangente de Bˆ .
Seja o triângulo ABC retângulo em A, conforme a gura a seguir:
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que a2 = b2 + c2 .
Dividindo-se ambos os membros da equação por a2 , temos:
ÂNGULO SOMA
Na figura abaixo considere AD = 1.
ÂNGULO DIFERENÇA
Na figura abaixo considere AD = 1.
ARCO DOBRO
ÂNGULOS NOTÁVEIS ÂNGULOS DE 30° E 60°
Seja o triângulo equilátero ABC de lado x, conforme a figura a seguir:
ÂNGULO DE 45°
Seja o quadrado ABCD de lado x, conforme a figura a seguir:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:
No triângulo retângulo ABC, temos:
Quadro resumo:
ÂNGULOS DE 15° E 75°
ÂNGULOS DE 22° 30’ E 67° 30’
ÂNGULOS DE 18° E 72°.
Seja um triângulo ABC isósceles de base BC e seja um ponto P pertencente ao lado AC tal que AP = PB = BC.
Sem perda de generalidade, considere AP = PB = BC = 2 u.c. (unidades de comprimento).
Os triângulos ABC e BPC são semelhantes pelo caso A.A.A. (ângulo, ângulo, ângulo), portanto:
A partir do vértice A, traçe a mediana AM. A mediana relativa à base principal de um triângulo isósceles é
altura, portanto = ° AMB 90 ˆ e = ° ⋅ °= ° °= °
36° E 54°
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS OBTUSOS
A de nição das linhas trigonométricas no triângulo retângulo refere-se a ângulos agudos, ou seja, ângulos θ tais que 0 < θ < 90o . É possível definir as linhas trigonométricas de qualquer ângulo θ ∈ com auxílio do ciclo trigonométrico, de maneira coerente com a definição que foi feita no triângulo retângulo.
Entretanto, para nossas aplicações em Geometria Plana, é suficiente conhecer as linhas trigonométricas dos ângulos entre 0o e 180o . A seguir são apresentados os valores das linhas trigonométricas de 0o , 90o e 180o .
