DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
Um triângulo é a gura geométrica formada por três segmentos de reta consecutivos, dois a dois, unidos por suas extremidades.
Os segmentos de reta são os lados do triângulo e as extremidades dos segmentos de reta, os vértices do triângulo.
Os ângulos internos do triângulo são os ângulos formados pelos lados do triângulo.
Os ângulos externos são formados por um lado do triângulo e o prolongamento do lado adjacente, e são o suplementar adjacente do ângulo interno de mesmo vértice.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS QUANTO AOS LADOS
Se um triângulo possui três lados de medidas iguais, ele é dito equilátero.
Os triângulos equiláteros possuem três lados de medidas iguais e três ângulos internos iguais de medida 60o.
Se um triângulo possui dois lados de medidas iguais, ele é dito isósceles.
O lado desigual de um triângulo isósceles, quando houver, é chamado de base e o ângulo interno oposto a ele, ângulo do vértice.
Os ângulos adjacentes à base de um triângulo isósceles são iguais.
Se um triângulo possui lados de medidas distintas, duas a duas, ele é dito escaleno.
Todo triângulo equilátero é também isósceles, mas a recíproca não é verdadeira.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS QUANTO AOS ÂNGULOS
Se um triângulo possui os três ângulos agudos, ele é dito acutângulo.
Se um triângulo possui um ângulo reto, ele é dito retângulo.
Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa, e os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados catetos.
Se um triângulo possui um ângulo obtuso, ele é dito obtusângulo.
RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
Sejam r e s duas retas paralelas cortadas por uma transversal t, determinando oito ângulos, conforme a gura acima, então 1357 ˆ ˆˆ = = = ˆ , 2468 ˆ ˆˆ = = = ˆ e os ângulos do segundo grupo são o suplemento dos ângulos do primeiro grupo.
Se dois pares de ângulos alternos ou dois pares de ângulos correspondentes forem iguais, bem como dois pares de ângulos colaterais forem suplementares, então as retas r e s serão paralelas.
Se r s , então 135 24 ˆˆ ˆ ++=+ ˆ ˆ , ou seja, a soma dos ângulos voltados para um lado é igual à soma dos ângulos voltados para o outro lado.
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o.
ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
Demonstração:
ee e A C 180 A C A B C A B C ˆ + = ⇔ + = ++⇔ =+ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
Corolário: A soma das medidas dos três ângulos externos de um triângulo é igual a 360°.
DESIGUALDADES NO TRIÂNGULO RELAÇÃO ENTRE LADOS E ÂNGULOS
Teorema: Num triângulo qualquer, ao maior (menor) lado, opõe- se o maior (menor) ângulo. Precisamente, em um ∆ABC tem-se A B ˆ ˆ > se, e somente se, BC AC > .
Demonstração:
DESIGUALDADE TRIANGULAR
Teorema: Cada lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois.
Tomemos um ponto D na reta AB de forma que B B esteja entre A e D e que BD BC = . Como o ∆DBC é isósceles, temos ADC BDC BCD ACD ˆ ˆ = = < ˆ ˆ .
Aplicando a desigualdade (1.1) ao ∆ADC, tem-se AC AD AB BD AB BC < =+=+ , como queríamos demonstrar.
Corolário: A menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que os une.
Exemplo: Sejam os pontos A e B do mesmo lado de uma reta r. Identifique o ponto C r ∈ tal que AC CB + assuma o valor mínimo.
Seja B’ a re exão do ponto B em relação à reta r , então BC B’C = . O menor caminho de A a B’ é o segmento de reta que une esses dois pontos. Como AC CB AC CB’ +=+ , então o ponto C que faz AC CB + assumir o valor mínimo é a interseção do segmento AB’ com a reta r .
ENVOLVENTE E ENVOLVIDA
Teorema: Dadas duas curvas convexas que unem dois pontos distintos, sendo uma envolvente e a outra envolvida, a envolvente é maior que a envolvida.
Sejam 1 e 2 os comprimentos das duas curvas convexas indicadas na gura, então
