Chama-se polinômio inteiro na variável x com coe cientes reais, a expressão do tipo:
em que os coe cientes an , an-1, …, a1 , a0 são números reais.
Polinômio completo é aquele que não possui coe cientes nulos.
Um polinômio completo de grau n possui n+1 termos.
O coeficiente dominante ou coe ciente líder do polinômio é o coe ciente do termo de maior grau, an .
Polinômio mônico é aquele cujo coe ciente líder (an ) é igual a 1.
O valor numérico do polinômio P(x) em x0 é a imagem de x0 pela função P, ou seja, é o valor que o polinômio assume quando substituímos x por x0
O valor numérico do polinômio P(x) quando x = 1 é a soma dos seus coe cientes, ou seja, P(1) = an + an-1 + … + a2 + a1 + a0 .
O termo independente de x do polinômio P(x) é o termo a0 , e é igual ao valor numérico do polinômio quando fazemos x = 0, ou seja, a0 = P(0).
O grau de um polinômio P(x) não identicamente nulo, denotado por ∂P, é igual ao maior expoente da variável x nos termos com coe cientes não nulos. Se P(x) tem todos os coe cientes nulos, não se define o grau de P(x).
Exemplo:
P(x) = 2×3 – x -1 ⇒ ∂P = 3 e P(x) = 2 ⇒ ∂P = 0 Chamam-se raízes do polinômio P(x) os valores de x tais que
P(x) = 0. Um polinômio de grau n possui exatamente n raízes reais ou complexas. Desta forma, a quantidade de raízes reais é no máximo n.
Exemplo:
x = 1 é raiz de P(x) = 2×3 – x -1, pois P(1) = 2 ⋅ 13 – 1 – 1 = 0 Dizemos que r é raiz de multiplicidade m(m ≥ 1) do polinômio P(x) se, e somente se, P(x) = (x – r)m ⋅ Q(x) e Q(r) ≠ 0, ou seja, r é raiz de multiplicidade m de P(x) quando P(x) é divisível por (x – r)m e não é divisível por (x – r)m+1.
Dois polinômios são ditos idênticos quando assumem sempre o mesmo valor, qualquer que seja o valor atribuído à variável. Dois polinômios idênticos são sempre de mesmo grau e têm todos os coe cientes iguais.
Se dois polinômios de grau n assumem o mesmo valor para (n+1), valores distintos da variável, então esses polinômios são idênticos.
Polinômio identicamente nulo é aquele que é nulo para qualquer valor da variável. Um polinômio identicamente nulo tem todos os seus coe cientes iguais a zero.
Se um polinômio de grau n possuir mais de n raízes, então ele é identicamente nulo. A adição e a subtração de polinômios são feitas somando-se ou subtraindo-se os coe cientes dos termos de mesmo grau em todas as variáveis.
Na multiplicação de polinômios não identicamente nulos, o grau do produto é igual à soma dos graus de cada um dos fatores.
Considerando os polinômios do exemplo acima, temos ∂P = 3 e ∂D = 2, portanto ∂(P⋅D) = 3 + 2 = 5.
A divisão de polinômios é feita com base no algoritmo da divisão de Euclides, de forma similar à divisão inteira. Assim, para dividir o polinômio P(x) (dividendo) pelo polinômio D(x) (divisor) devemos encontrar dois polinômios Q(x) e R(x), denominados quociente e resto, respectivamente, que satisfazem
Se o grau do dividendo é superior ao grau do divisor (∂P > ∂D), a divisão pode ser efetuada pelo seguinte algoritmo denominado Método da Chave.
I. Ordenam-se P(x) e D(x) segundo às potências decrescentes de x, incluindo os termos do dividendo que possuem coe ciente 0.
II. Divide-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro termo de D(x), obtendo-se o primeiro termo do quociente.
III. Multiplica-se D(x) pelo primeiro termo do quociente e subtrai- se o resultado de P(x), obtendo-se o primeiro resto parcial.
IV. Com o primeiro resto parcial e o divisor D(x) repetem-se as operações, obtendo-se o segundo termo do quociente
e assim sucessivamente até se encontrar um resto de grau menor que o divisor ou nulo.
Exemplo:
Se P(x) = 2×3 – x – 1 e D(x) = x2 – x + 2, temos:
Logo, o quociente é Q(x) = 2x + 2 e o resto R(x) = -3x – 5. Observe que isso implica que 2×3 – x – 1 = (x2 – x + 2) ⋅ (2x + 2) + (-3x – 5) seja uma identidade, isto é, essa igualdade é verdadeira para qualquer valor da variável x.
Numa divisão de polinômios, na qual o grau do dividendo é superior ao grau do divisor, o grau do quociente é igual à diferença dos graus do dividendo e do divisor.
Considerando os polinômios do exemplo acima, temos ∂P = 3 e ∂D = 2, portanto ∂(Q) = 3 – 2 = 1.
A divisão de polinômios também pode ser efetuada pelo método de Descartes ou método dos coe cientes a e terminar, que é uma aplicação da identidade de polinômios. Nesse método, parte-se da expressão P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x), em que ∂Q = ∂P – ∂D e ∂RMÁX= ∂D – 1. O quociente e o resto são obtidos igualando-se os coe cientes dos dois lados.
Teorema de D’Alembert: o resto da divisão de um polinômio
MMC E MDC ENTRE POLINÔMIOS
O mmc e o mdc entre polinômios se dá obedecendo à mesma regra dos números inteiros. Primeiramente, fatoramos todos os polinômios em sua forma de fatores mais simples. Após isso:
MMC
É dado pelo produto de todos os fatores com o maior expoente que cada fator apareceu.
MDC
É dado pelo produto apenas dos fatores que foram comuns com os menores expoentes em que cada fator apareceu.
