CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
O conjunto dos números naturais é = {0, 1, 2, 3, …} (há uma grande discussão a respeito da inclusão do zero no conjunto dos números naturais. Neste material, colocaremos 0 como número natural.) Os números naturais são números utilizados para contarmos qualquer coisa. Por exemplo, em um campo de ovelhas, podemos ter
nenhuma ovelha (zero ovelhas), apenas uma ovelha, duas ovelhas, três ovelhas e assim por diante.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros é Z ={…, -3, -2 , -1, 0, 1, 2, 3, …}. A grande diferença do conjunto dos inteiros para o conjunto dos números naturais é a inclusão dos números negativos: {…, -3, -2, -1}.
Você pode estar se perguntando agora: mas qual é a vantagem de introduzir números negativos? Os números negativos aparecem de forma muito clara nas dívidas, por exemplo. Fica bem mais fácil de fazer as contas quando tratamos dívidas como números negativos. Fique atento às seguintes notações que podem aparecer em provas (a EPCAR gosta muito de cobrar isso!):
Z+={0,1, 2, 3, …} (inteiros não negativos)
Z–
={…,–3,–2–1,0} (inteiros não positivos)
Z*
={…,–3,–2,–1, 0} (inteiros não nulos)
Z+
*
={1,2,3,…} (inteiros positivos)
Z–
*
={…,–3,–2,–1} (inteiros negativos)
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ADIÇÃO
Adicionar dois números, utilizando-se o exemplo do campo de ovelhas, consiste em juntar dois campos de ovelhas. Por exemplo, se em um campo temos 8 animais, e em outro temos 9, no total teremos 8 + 9 = 17 ovelhas.
Observação
Em uma adição, os termos adicionados chamam-se PARCELAS e o
resultado final chama-se SOMA.
Vejamos as propriedades da adição:
1. Comutatividade:
A ordem das parcelas não altera a soma.
Exemplo:
10 + 2 = 2 + 10 = 12
2. Associatividade:
Se a, b, c são inteiros, então a + (b + c) = (a + b) + c
Exemplo:
9 + (3 + 5) = (9 + 3) + 5 = 17
3. Elemento neutro:
O zero (0) é o elemento neutro da adição, ou seja, zero adicionado a qualquer coisa não in ui no resultado.
Matematicamente, a + 0 = 0 + a = a.
Exemplo:
7 + 0 = 0 + 7 = 7
4. Simétrico:
Para todo inteiro a, a + (-a) = 0, (-a) é dito o simétrico de a.
Exemplo: 3 + (-3) = 0
SUBTRAÇÃO
A subtração é a operação inversa da adição. Pensando em campos de ovelhas, imagine que em uma noite temos 12 ovelhas no campo. Durante a madrugada, uma raposa come 4 das 12 ovelhas. Quantasrestarão? A resposta é 12 – 4 = 8. Matematicamente, definimos a – b = a + (–b).
Observação
Na subtração a – b = c, temos que a é dito MINUENDO, b é o SUBTRAENDO e c é o RESTO.
ProBizu
Guarde a seguinte relação fundamental:
MINUENDO = SUBTRAENDO + RESTO
Vejamos agora dois exercícios resolvidos:
Exercício Resolvido
01. O valor de 2006 – 2005 – (2004 –(…–(3–(2–1))…))) é igual a:
a) 1001.
b) 1002.
c) 1003.
d) 2001.
e) 2002.
Resolução: C
A soma pedida é S = 2006 – 2005 + 2004 – 2003 + … – 3 + 2 – 1
(veja que na frente de um número par, aparece sinal de + e na
frente de um número ímpar, aparece sinal de –). Para calcular S,
vamos analisar esta soma de dois em dois termos. Veja que:
2006 2005 1
2004 2003 1
2002 2001 1
431
211
− =
− =
− =
− =
− =
Para terminar, veja que a soma toda possui 2006 parcelas. Como estamos juntando os termos de 2 em 2, formamos 1003 pares, cada um contribuindo com valor 1 para a soma. Desta forma, S = 1003.
Exercício Resolvido
02. (CMRJ 2008) Numa subtração, a soma do minuendo com
o subtraendo e o resto é 2160. Se o resto é a quarta parte do
minuendo, o subtraendo é:
a) 570 .
b) 810.
c) 1080.
d) 1280.
e) 1350.
Resolução: C
Sendo M o minuendo, S o subtraendo e R o resto, lembremos da
relação fundamental:
MSR = + O enunciado nos diz que M + S + R = 2160. Substituindo nesta última equação S + R por M, obtemos que M + M = 2160 ⇒M =1080.
Finalmente, o enunciado também diz que M 1080 R 270 4 4 = = = .
Desta forma, concluímos que o subtraendo é:
S = M – R = 1080 – 270 – 810
MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação é, essencialmente, uma soma de vários termos iguais. Em termos de campos de ovelhas, multiplicar dois números é o mesmo que juntar vários campos de ovelhas com a mesma quantidade de ovelhas em cada um. Por exemplo, se temos três campos com quatro ovelhas em cada um, no total teremos 4 + 4 + 4 = 4 ⋅ 3 = 12 ovelhas no
total. Matematicamente, se a e b são naturais, temos que:
b vezes ab a a a ⋅=++ +
Vejamos as propriedades da multiplicação:
1. Comutatividade:
A ordem dos fatores não altera o produto.
Exemplo:
8 · 1 = 2 · 8 = 16
Se a, b são naturais, então a · b = b · a 2. Associatividade:
Se a, b, c são naturais, então a bc ab c ⋅=⋅ ( ) ( )
Exemplo:
2 3 6 2 3 6 36 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅= ( ) ( )
3. Elemento Neutro:
A unidade é o elemento neutro da multiplicação.
Exemplo:
5 · 1 = 1 · 5 = 5
Se a é natural, então a · 1 = 1 · a = a
4. Distributividade:
Se a, b, c são naturais, então a b c ab ac ⋅ + =⋅+⋅ ( )
5. Lei do Corte:
Se a, b, c são naturais, com a diferente de 0, tais que a · b = a · c, então b = c.
Observação
Em a b c × , temos que a é o MULTIPLICANDO, b é o MULTIPLICADOR e c é o PRODUTO.
Para a e b inteiros, multiplicamos inicialmente os números retirando o sinal. O resultado será o produto obtido com um sinal que será determinado pela seguinte regrinha de sinais (que pode ser demonstrada pela propriedade distributiva da multiplicação): O produto de dois inteiros de sinais contrários é um inteiro negativo e o produto de dois inteiros de mesmo sinal é positivo.
Exemplos:
( )
( ) ( )
23 6
3 5 15
⋅ − =−
− ⋅− =
Vamos a mais um exercício resolvido:
Exercício Resolvido
03. (CMRJ 2008) Na multiplicação a seguir, a, b, c representam algarismos:
1 a b
b 3 ×
* * *
* * *
1 c c 0 1 Então, a soma a + b + c vale:
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
Resolução: D
Veja que o algarismo b multiplicado pelo algarismo 3 fornece um número terminado em 1. Desta forma, a única possibilidade para b é 7. Assim, podemos reescrever a multiplicação como 1a7 × 73 = 1cc01, em que a é um inteiro de 0 até 9. Veja agora as seguintes multiplicações:
107 73 7811
117 73 8541
127 73 9271
137 73 10001
147 73 10731
157 73 11461
167 73 12191
177 73 12921
187 73 13651
197 73 14381
× =
× =
× =
× =
× =
× =
× =
× =
× =
× =
Observe que o único produto, que é do formato 1cc01, é 137 × 73 = 10001. Assim, a = 3, b = 7 e c = 0, em que a soma
a + b + c é igual a 3 + 7 + 0 = 10.
Vamos fazer algumas ressalvas neste exercício antes de continuar:
I. Depois que você faz 107 × 73 e encontra o resultado, basta somar 730 ao produto para encontrar o próximo resultado (isso acontece porque de um produto para o outro, a única mudança é somar 10 no multiplicando).
II. Você não precisa fazer as contas até 197 × 73. De fato, podemos parar no 137 × 73, pois a questão é objetiva e você já encontrou a resposta neste passo.
DIVISÃO
Caro aluno, finalmente chegamos à divisão, assunto mais cobrado nos nossos concursos militares.
A divisão é basicamente a operação inversa da multiplicação. O nosso resultado fundamental é: dados dois inteiros D e d, existem inteiros q, r, unicamente determinados, tais que D = d · q + r e 0 ≤ r < |d| (Guarde bem essa relação, pois será muito útil; portanto, nunca se esqueça da condição 0 ≤ r < |d|).
Podemos montar o seguinte esquema:
( ) D d
D dq r e 0 r d r q
= + ≤<
Nessa operação, D é chamado de dividendo, d divisor, q quociente e r resto.
|x| representa o chamado valor absoluto (ou módulo de x). É uma de nição simples: quando x é maior ou igual a 0,
|x| = x. Quando x é negativo, |x| = – x.
Exemplos:
01. Ache o quociente e o resto de 42 na divisão por 5.
Resolução
Temos que 42 = 5 · 8 + 2. Como 0 ≤ 2 < |5| = 5, temos que 2 é o resto de 42 na divisão por 5 e que 8 é o quociente.
02. Ache o quociente de –31 na divisão por 4.
Resolução
Temos que –31 = 4 · (–8) + 1. Como 0 ≤ 1 < |4| = 4, temos que 1 é o resto de -31 na divisão por 4 e que -8 é o quociente.
Observação
Se o resto da divisão é igual a 0, a divisão é dita EXATA.
PROPRIEDADES DA DIVISÃO
Vamos ver algumas propriedades importantes da divisão, elas podem ajudar muito!
• Numa divisão exata, multiplicando-se o dividendo por um número k (k ∈ *), o quociente cará multiplicado por esse número.
⋅ ⇒ ⋅
D Dk d d r r q qk
• Numa divisão exata, multiplicando-se o divisor por um número k (k ∈ *), o quociente cará dividido por esse número.⇒ d k D D d q r r q k
• Numa divisão exata, dividindo-se o divisor por um número k (k ∈ *), o quociente cará multiplicado por esse número.d D D d k r r q q k
• Numa divisão exata, o quociente não se altera quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número
k (k ∈ *), mas o resto ca multiplicado por esse número.
D Dk d dk r rk q q
O maior resto R em uma divisão inexata é igual ao divisor menos 1.
• Numa divisão inexata, o maior número N que devemos subtrair do dividendo sem alterar o quociente é igual ao
próprio resto. 03. Ache o quociente de –43 na divisão por –5.
Resolução:
Temos que –43 = (-5) · 9 + 2. Como 0 ≤ 2 <|-5| = 5, temos que 2 é o resto de –43 na divisão por –5 e que 9 é o quociente.
Exercício Resolvido
04. Determine a soma de todos os números naturais maiores do que zero que, ao serem divididos por 8, apresentam resto igual ao dobro do quociente:
a) 40
b) 50
c) 60
d) 70
e) 80
Resolução: C
Pelos dados do enunciado, podemos montar o seguinte esquema:
( ) D 8 D 8q 2q e 0 2q 8 2q q
=+ ≤<
A partir do esquema, obtemos que D = 10q e 0 ≤ q < 4. Como q é um inteiro, temos que q só pode ser 0, 1, 2 ou 3.
Entretanto, q = 0 nos daria D = 0, descartado pelo. Assim, podemos ter:
q 1: D 10
q 2: D 20
q 3 : D 30
= =
= =
= =
A soma dos números pedidos é, portanto, igual a 10 + 20 + 30 = 60.
REGRAS GERAIS PARA CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Fique atento às seguintes regras para cálculo de expressões que envolvem uma porção de operações:
I. Se a expressão contiver parênteses, colchetes, chaves, deve-se iniciá-las pelas operações indicadas nos sinais mais interiores.
II. As operações de multiplicação e divisão devem ser efetuadas primeiro na ordem que aparecerem (da esquerda para a direita).
III. As adições e subtrações devem ser efetuadas em seguida também na ordem que aparecerem (da esquerda para a direita).
Exemplos:
I. 3 + 8 : 4 + 2 · (1 · 3) =
= 3 + 2 + 2 · 3 =
= 3 + 2 + 6 = 11
II. 7 · (3 + 4 : 2 + 2 – 3 (5 · 3 + 2) – 1) =
= 7 · (3 + 2 + 2 – 3 (15 + 2) – 1) =
= 7· (7 – 3 · 17 – 1) =
= 7 · (7 – 51 – 1) =
= 7 · – 45 = – 315
