NÚMEROS COMPLEXOS I

Compartilhe:

NÚMEROS COMPLEXOS I

Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação

não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos

mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.

Primeiro, eles definiram um novo número

DEFINIÇÃO

Um número complexo é uma expressão da forma

IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS

Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

MULTIPLICAÇÃO

O CONJUGADO E A DIVISÃO

COMPLEXOS CONJUGADOS

O conjugado de um número complexo a + bi é a – bi, e o conjugado de a – bi é a + bi.

Os números complexos a + bi e a – bi são chamados complexos conjugados.

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

DIVIDINDO DOIS NÚMEROS COMPLEXOS

POTÊNCIAS DE i

Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo 1, i, -1, -i

REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo é constituído por duas componentes: a parte real e a parte imaginária. Isso sugere a utilização de dois eixos para representá-lo: um para a parte real e o outro para a parte imaginária. Esses dois eixos chamam-se eixo real e eixo imaginário, respectivamente. O plano determinado por esses dois eixos chama-se plano complexo ou plano de Argand-Gauss.

Para desenharmos o gráfico do número complexo a + bi, marcamos o ponto (a; b) no plano.