MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)
De nição: O máximo divisor comum (M.D.C) de dois números é o maior dos divisores comuns a estes dois números.
Exemplo:
mdc (36,16) = 4, pois os divisores comuns a 36 e 16 são 1, 2 e 4, sendo o maior deles 4.
Observação
• mdc (a,1) = 1 qualquer que seja a inteiro.
• Se a ≠ 0, mdc (a,0) = |a|.
• Se mdc (a,b) = 1, diz-se que a e b são primos entre si.
Propriedades:
a) Para todo t inteiro positivo, mdc (ta,tb) = t ⋅ mdc (a,b).
b) Se a|b, então mdc (a,b) = |a|.
c) Se a|bc e mdc (a,b) = 1, então a|c.
d) Se a,b são primos entre si, a|c e b|c, temos que ab|c.
e) Dois números consecutivos são sempre primos entre si.
ProBizu
Se mdc (a,b) = d, podemos escrever a = du e b = dv, em que u e v
são primos entre si.
MÉTODOS DE OBTENÇÃO DO M.D.C MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS OU ALGORITMO DE EUCLIDES
Dados A e B (A > B), dividimos A por B, obtendo quociente q1 e resto r1 . Colocamos q1 acima de B e r1 abaixo de A e ao lado de B (r1 será agora o novo divisor e o novo dividendo é B). Feito isso, dividimos B por r1 , obtendo quociente q2 e resto r2 . Colocamos q2 acima de r1 e r2 abaixo de B e ao lado de r1 (r2 será agora o novo divisor e o novo dividendo é r1 ). Repetimos este processo até bater resto 0. O último divisor, rn , será o mdc.
O método acima normalmente é apresentado através do dispositivo de cálculo a seguir:
q1 q2 q3 … qn qn+1
A B r1 r2 … rn–1 rn
r1 r2 r3 … rn 0
Exemplo:
Calcular mdc (665, 280).
2 2 1 2
665 280 105 70 35
105 70 35 0
Obtemos, assim, mdc (665, 280) = 35.
MÉTODO DAS DECOMPOSIÇÕES CANÔNICAS
Se 1 2 n 12 n a p p p eb p p p 1 2 n 12 n
αα α ββ β = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ , em que p1
,p2
,…,pn são os fatores primos que ocorrem nas fatorações de a e b, e os expoentes podem ser nulos, então ( ) min , 1 min , { 1 } { 2 2} min , { n n} mdc a,b p p 12 n p , αβ α β α β = ⋅ ⋅⋅ ou seja, mdc (a,b) é o produto dos fatores primos comuns as duas decomposições tomadas com seus menores expoentes.
Observação
min {x,y} representa o menor número dentre x e y. Por exemplo,
min {3,7} = 3.
Exemplo:
665 = 5 ⋅ 7 ⋅ 19 e 280 = 23 ⋅ 5 ⋅ 7. Logo, mdc (665,280) = 5 ⋅ 7 = 35.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
De nição: O M.M.C entre dois inteiros não nulos a e b é o menor inteiro positivo que é divisível por a e b.
Propriedades:
a) Se a|b, então mmc (a,b) = b;
b) Para todo k inteiro não nulo, mmc (ak,bk) = |k|mmc (a,b);
c) Se mdc (a,b) = 1, mmc (a,b) = ab.
ProBizu
O produto do mmc de dois números por seu mdc é igual ao produto dos números, isto é, mmc (a,b) ⋅ mdc (a,b) = ab.
MÉTODOS DE OBTENÇÃO DO M.M.C. MÉTODO DAS DECOMPOSIÇÕES SIMULTÂNEAS
Os números são divididos por seus fatores primos (comuns e não comuns) até que todos os termos obtidos sejam iguais a 1. O mmc é o produto de todos os fatores primos obtidos.
Exemplo:
Calcular o mmc (665, 280)
665 280 2
665 140 2
665 70 2
665 35 5
133 7 7
19 1 19
1 1 23 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 19 = 5320
Logo, mmc (665, 280) = 5320.
MÉTODO DAS DECOMPOSIÇÕES CANÔNICAS
Se 1 2 n 12 n a p p p eb p p p 1 2 n 12 n αα α ββ β = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ , em que p1 ,p2 ,…,pn são os fatores primos que ocorrem nas fatorações de a e b, e os expoentes podem ser nulos, então ( ) max , 1 max , { 1 } { 2 2} max , { n n} mmc a,b p p 12 n p , αβ α β α β = ⋅ ⋅⋅ ou seja, mmc (a,b) é o produto dos fatores primos comuns e não comuns às duas decomposições tomados com seus maiores expoentes.
Exemplo:
665 = 5 ⋅ 7 ⋅ 19 e 280 = 23 ⋅ 5 ⋅ 7.
Logo, mmc (665,280) = 23 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 19 = 5320.
