TEOREMA DE PITOT
“Em qualquer quadrilátero convexo circunscritível a um círculo, as somas dos lados opostos são iguais.”
TEOREMA DE HIPARCO E PTOLOMEU
“Em todo quadrilátero convexo inscritível num círculo o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos”.
APLICAÇÃO
Calcular a corda correspondente ao arco-soma ou arco-diferença de dois raios cujas cordas a e b são dadas num círculo de raio R.
ARCO-SOMA
ARCO-DIFERENÇA
TEOREMA DE PTOLOMEU
“A razão entre as diagonais de um quadrilátero convexo inscritível num círculo é igual à razão entre as somas dos produtos dos lados que concorrem respectivamente nas extremidades de cada diagonal”.
APLICAÇÃO
Calcular as diagonais de um quadrilátero convexo inscritível num círculo sabendo-se que os lados são dados.
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS CÍRCULOS
TEOREMA
“A perpendicular traçada de um ponto qualquer de um círculo em relação a um diâmetro é média geométrica entre os segmentos que determina sobre o diâmetro”.
“Qualquer corda de um círculo é média geométrica entre o diâmetro que passa por uma de suas extremidades e a sua projeção sobre este diâmetro”
TEOREMA
“Se um círculo é interceptado por um feixe de retas que concorrem num ponto P, os produtos dos segmentos determinados em cada reta e compreendidos entre o ponto P e o círculo é um produto constante”.
CÁLCULO DO PRODUTO CONSTANTE
QUADRADO DA TANGENTE
CÁLCULO DO PRODUTO CONSTANTE
POTÊNCIAS
Potência de um produto P em relação a um segmento AB, colinear com P é o produto PA . PB.
EIXO RADICAL
É o lugar geométrico dos pontos que possuem igual potência em relação a dos círculos dados.
Observação
1) O eixo radical está sempre mais próximo do centro do menor círculo.
2) O eixo radical dos dois círculos exteriores contém os pontos médios das tangentes comuns interiores e exteriores.
3) O eixo radical de dois círculos tangentes interiormente ou exteriormente é a tangente comum que passa pelo ponto de contato.
4) O eixo radical de dois círculos secantes é a reta suposta de corda comum.
5) Para os pontos exteriores aos círculos o eixo radical é o lugar geométrico dos pontos de onde se podem tirar tangentes iguais em relação aos dois círculos.
TEOREMA
“Se os centros de três círculos não são colineares os eixos radicais dos três círculos tomados dois a dois concorrem num mesmo ponto, chamado Centro Radical”.
Observação
1) Se três círculos são tangentes exteriormente dois a dois, as tangentes comuns interiores concorrem mesmo ponto.
2) Se três círculos são secantes dois a dois, as cordas comuns concorrem num mesmo ponto.
3) Se o centro radical é exterior aos círculos, ele é o único ponto de onde se podem traçar tangentes iguais em relação aos três círculos. O centro radical é ainda o centro do único círculo simultaneamente ortogonal aos três círculos dados.
APLICAÇÃO
Determinar graficamente o eixo radical de dois círculos.
POLÍGONOS REGULARES
Espécie de um polígono
Ângulo externo de um polígono é o menor ângulo de que se deve girar um lado para que ele coincida com o lado seguinte, inclusive em sentido.
EXPRESSÕES NOS POLÍGONOS REGULARES
CÁLCULO DO APÓTEMA
CÁLCULO DO LADO DO POLÍGONO DE 2n LADOS
QUADRADO
OCTÓGONOS
CÁLCULO DO LADO DO POLÍGONO REGULAR DE 2K LADOS
TRIÂNGULO EQUILÁTERO E HEXÁGONO
DODECÁGONO
DECÁGONOS E PENTÁGONOS
O lado do decágono regular convexo é então o segmento áureo interno do raio.
TEOREMA
Os lados do hexágono regular e do decágono regular convexo são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é igual ao lado do pentágono regular convexo.
A demonstração algébrica é fácil de fazer:
DEMONSTRAÇÃO GRÁFICA
RELAÇÃO DE STEWART
DEMONSTRAÇÃO
