FUNDAMENTOS
Conceitos primitivos: ponto, reta e plano.
POSTULADOS PRINCIPAIS
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
• Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.
• Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
• Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma, e apenas uma, reta paralela a primeira (Euclides).
DETERMINAÇÃO DO PLANO
Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano. Um único plano fica determinado por:
a) Três pontos não colineares.
Retas paralelas são retas coincidentes ou são retas coplanares que não possuem ponto em comum.
• Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si.
RETAS NÃO COPLANARES
Retas Reversas: não há pontos de interseção.
r s ∩ =∅
PERPENDICULARIDADE
Retas perpendiculares (⊥) são retas concorrentes que formam ângulos adjacentes suplementares congruentes.
Num plano, por um ponto dado de uma reta, passa uma única reta perpendicular à reta dada.
• A projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta é o ponto de interseção da reta com a perpendicular a ela passando pelo ponto dado.
Na gura acima, o ponto P’ é a projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r.
• A projeção ortogonal de um segmento de reta não perpendicular a uma reta sobre ela é o segmento determinado
sobre a reta pelas projeções dos extremos do segmento original.
ÂNGULOS
Ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma origem.
O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas OA e OB são os lados do ângulo.
Um ângulo determina dois setores angulares, um convexo e outro côncavo, exceto no caso de semirretas opostas.
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que o divide em dois ângulos congruentes.
AOBˆ e AOCˆ são ângulos consecutivos. OA é o lado comum.
ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos são adjacentes se, e somente se, forem consecutivos e não possuírem pontos internos comuns.
ÂNGULO RASO
Ângulo raso é o ângulo determinado por duas semirretas opostas. Um ângulo raso mede 180°.
ÂNGULO RETO
Ângulo reto é aquele que é igual a seu suplementar adjacente. A medida de um ângulo reto é 90°.
ÂNGULO AGUDO E ÂNGULO OBTUSO
Ângulo agudo é aquele que é menor que um ângulo reto e ângulo obtuso é aquele que é maior que um ângulo reto.
UNIDADES DE MEDIDAS ANGULARES SISTEMA SEXAGESIMAL − GRAU (°)
Um sistema sexagesimal é um sistema de numeração de base 60, ou seja, cada submúltiplo é 60 vezes menor que o anterior. Para medidas angulares, é comum adotar um sistema sexagesimal
SISTEMA DECIMAL − GRADO (GR)
Um sistema decimal é um sistema de numeração de base 10, ou seja, cada submúltiplo é 10 vezes menor que o anterior. Para medidas angulares, utiliza-se um sistema decimal com
O ângulo de 1 radiano (1 rad) é o ângulo central em uma circunferência de raio R que determina um arco de comprimento R sobre essa circunferência.
O sistema circular ou radiométrico adota como unidade de medida 1 radiano (1 rad).
Como o comprimento de uma circunferência de raio R é 2πR, então um ângulo de uma volta mede 2π rad. ( ) 1 1rad ângulo de uma
RELAÇÕES ENTRE AS UNIDADES
180 200 gr rad = = π
NÚMERO COMPLEXO
Número complexo é um número que apresenta mais de uma unidade de um mesmo sistema para exprimir uma grandeza. Exemplos: 2h30min10s e 15°20’32”.
Número incomplexo é um número que apresenta uma única unidade de um sistema para exprimir uma grandeza.
Exemplos: 135,2 min e 65,32°
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Ângulos complementares são ângulos cujas medidas somam um ângulo reto (90°).
ÂNGULOS REPLEMENTARES
Ângulos replementares são ângulos cujas medidas somam um ângulo de uma volta (360°).
O replemento de um ângulo é o ângulo que, junto ao primeiro, forma um par de ângulos replementares. Portanto, o replemento de x é 360° – x.
ÂNGULOS NO RELÓGIO
Vamos analisar o problema de identificar o ângulo θ entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às H horas e M minutos.
