INTRODUÇÃO
A altura h de uma bala disparada por um canhão, a partir do solo, tem expressão dada por: h = 40 ⋅ t – 5 ⋅ t2 , em que t é o tempo dado em segundos após o disparo.
Montando uma tabela de valores de h em função de t, temos:
O gráfico da altura h em função de t tem o seguinte aspecto:
Podemos fazer algumas perguntas que podem ser respondidas com a tabela feita, por conhecimentos que vamos adquirir neste módulo ou que já possuímos do capítulo de equação do segundo grau.
1) Em quais instantes a bala atinge a altura de 35 m?
Observando a tabela vemos que atinge 35 m nos instantes t = 1 s e t = 7 s.
Poderíamos resolver esta questão igualando a altura a 35 m e resolvendo uma equação do segundo grau:
− + = ⇔ − + = ⇔ − += ⇔= 22 2 5t 40t 35 5t 40t 35 0 t 8t 7 0 t 1s ou t=7s. t = 1 s ou t = 7 s.
2) Qual altura máxima atingida pela bala?
Pelo gráfico vemos que a altura máxima atingida pela bala foi de 80 m. A função tem um ponto de máximo (5,80). Aprenderemos neste módulo como calcular este ponto que é chamado de vértice da parábola.
3) O homem que efetuou o disparo pode sofrer alguns “danos”, caso não saia do local onde estava quando disparou o canhão, pois a bala vai retornar ao solo. Em quanto tempo a bala retorna ao solo?
Igualando h = 40 ⋅ t – 5 ⋅ t2 a zero encontramos dois instantes para os quais a altura vale 0. Um deles é o momento do disparo que é t = 0 e o outro é o momento que a bala retorna ao solo que é t = 10 s. Na verdade estes dois pontos são os zeros da função e podem ser calculados pela fórmula de resolução da equação do segundo grau que já foi vista no capítulo de equação do segundo grau.
As raízes da equação do 2o grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, são dadas por −± ∆ b 2a , em que ∆ = b2 – 4ac.
DEFINIÇÃO
É uma função da forma f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ e a ≠ 0, em que a, b, c são constantes ∈ e x é uma variável.
GRÁFICO
O gráfico de todas as funções do segundo grau, ou função quadrática, são parábolas.
Parábola é uma das seções cônicas que é gerada pela interseção de uma superfície cônica e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém esta reta.
Parábola pode também ser de nida como o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz).
Devido às propriedades geométricas das parábolas, muitas aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da vida real. Alguns exemplos são as antenas parabólicas, faróis de automóveis e radares.
A parábola representativa da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c terá concavidade voltada para cima quando a > 0 e concavidade voltada para baixo quando a < 0.
Quando x = 0 temos f(0) = c, portanto o ponto em que a parábola corta o eixo das ordenadas é o ponto (0,c).
Anteriormente, estão representados os gráficos das funções:
• em azul, o gráfico de f(x) = x2 .
• em verde, o gráfico de g(x) = x2 – 2.
• em vermelho, o gráfico de g(x) = x2 + 1.
A variação do valor de c faz com que o gráfico da função quadrática se desloque na vertical.
ZEROS, RAÍZES-PONTOS DE INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO X
Zeros ou raízes são os valores de x reais para os quais f(x) se anula, sendo, portanto, as soluções da equação do 2o grau ax2 + bx + c = 0 e as abscissas dos pontos em que a parábola intersecta o eixo Ox. As raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são dadas por
Portanto, a partir da forma canônica podemos chegar a alguns fatos muito importantes:
III. Eixo de simetria
Pontos do gráfico de uma função quadrática com abscissas equidistantes do xV estão a mesma altura, ou seja, a reta x = xV é um eixo de simetria da parábola.
Basta substituir em f(x) = a(x – xV) 2 + yV , os pontos x1 = xV + d x2 = xV – d Teremos que f(x1 ) = f(x2 ), isto é, quando temos pontos x1 e x2 que estão a mesma distância de xV , f(x1 ) = f(x2 ).
