CONCEITO
Uma função é um conjunto de pares ordenados com a seguinte propriedade, se (a, b) e (a, c) pertencem a esse conjunto, então b = c.
Em outras palavras, o conjunto não pode conter dois pares ordenados diferentes com a primeira coordenada igual.
Uma definição mais informal é a seguinte: função é uma lei que atribui, para cada número real, um outro número real.
Exemplos:
Uma lei que atribui a cada número o seu quadrado.
Uma lei que atribui para cada número x o número x2 – 3.
Uma lei que atribui 0 para cada número a, se a for racional, e 1 se a for irracional.
Exemplo Prático:
Numa barraca de tiro ao alvo, o freguês pagou 8 reais por 5 tiros. Por tiro que acertar “na mosca”, o freguês receberá 2 reais, e por isso seu saldo poderá ser positivo (lucro), negativo (prejuízo) ou nulo.
Por exemplo, acertando 2 tiros, o freguês receberá 4 reais, e como pagou 8 reais, terá um prejuízo de 4 reais: seu saldo será de – 4 reais.
É claro que o saldo y vai depender do número x de tiros acertados.
Essa função, com contradomínio C = {– 9, – 8, – 6, – 4, – 2, 0, 1, 2}, será indicada por f.
O domínio dessa função é D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, pois x pode variar de 0 a 5. O contradomínio foi dado (e, caso não fosse dado, consideraríamos como sendo R). Faça os cálculos e comprove que a representação por conjuntos (esquema) dessa função é a seguinte:
DEFINIÇÕES
Considere a função representada abaixo:
O domínio de f é o conjunto dos elementos de A que são os primeiros termos dos pares ordenados ou o conjunto origem das flechas.
O conjunto B é chamado contradomínio de f que são os segundos termos dos pares ordenados do produto cartesiano ou o conjunto dos possíveis destinos das flechas.
O conjunto imagem é um subconjunto de B formado pelos elementos que são segundos termos dos pares ordenados da função ou o conjunto dos elementos que são efetivamente destino de flechas.
No diagrama acima deve-se observar que de todo elemento do conjunto A deve partir exatamente uma flecha. Já os elementos do conjunto B podem receber uma ou mais flechas ou até não receber nenhuma flecha.
RESUMO:
Seja R uma relação de A em B. Chama-se domínio de R o conjunto D formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Decorre da definição que D ⊂ A, Im ⊂ B.
NOTAÇÃO:
f:A B x f(x) → → ou f = {(x,y) ∈ A x B | y = f(x)}
Chamam-se funções reais de variável real, aquelas cujo domínio e contradomínio são subconjuntos dos reais.
Nesse caso, costuma-se por comodidade definir a função apenas pela “regra de correspondência” e adota-se como domínio o maior subconjunto possível de R.
As funções reais de variável real podem ser representadas graficamente no plano cartesiano ortogonal. O gráfico da função é composto por todos os pares ordenados que compõem a função.
Em virtude da definição de função, toda reta vertical, que passa por um ponto do domínio, intercepta o gráfico da função em exatamente um ponto.
A análise do gráfico da função permite identificar o seu domínio e a sua imagem, como pode ser visto a seguir:
Zero ou raiz da função é o número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0. Esses pontos são identificados como os pontos em que o gráfico intercepta o eixo das abscissas (Ox).
É possível também identificar o sinal da função em cada trecho do domínio. Os pontos de imagem positiva encontram-se acima do eixo das abscissas (parte positiva do eixo das ordenadas) e os de imagem negativa abaixo (parte negativa do eixo das ordenadas).
CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES INJETIVA
Uma função f: A → B é dita injetiva quando elementos diferentes de A se associam a elementos diferentes de B, ou seja, se x, y ∈ A são distintos, então f(x) ≠ f(y)
Exemplo:
f: {1, 2, 3} → {1, 2, 3, 4}
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1
SOBREJETIVA
Uma função f: A → B é dita sobrejetiva quando seu contradomínio é igual à sua imagem, ou seja, todos os elementos de B estão associados a pelo menos algum elemento de A.
Exemplo:
f: {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3}
f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 1, f(4) = 2
BIJETIVA
Uma função f: A → B é dita bijetiva quando é injetiva e sobrejetiva simultaneamente.
Exemplo:
f: {1, 2, 3} → {1, 2, 3}
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1
RELAÇÕES
Dados os conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B. Se os conjuntos A e B são iguais, todo subconjunto de A x A é dito relação em A.
Exemplo:
A relação apresentada é do conjunto {0,1,2} no conjunto {3,4,5}, cujos elementos são os pares ordenados {(1,3),(1,4),(2,4)}.
2) Se A = {1,2,3,4,5} e B = {1,2,3,4}, a relação R = {(x,y) | x < y} de A em B é R = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.
