EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Uma equação biquadrada é uma equação do quarto grau em que só aparecem potências pares da incógnita, isto é, x2 e x4 .
Ela é da forma ax4+ bx2 + c = 0
Para resolver uma equação biquadrada, vamos usar a substituição de variável x2 = z. Temos então a seguinte equação resolvente az2 + bz + c = 0 cuja solução se desdobra no seguinte:
1o CASO:
b2 – 4ac < 0
A equação resolvente não possui raízes reais, logo você irá aprender que existe outro conjunto, o dos números complexos, em que mesmo com determinante negativo conseguimos encontrar raízes que chamamos de complexas. Mas isso é assunto para o ensino médio.
Sendo assim nossa equação biquadrada não possuirá raízes reais.
Observamos, assim, que se b2 – 4ac > 0, a realidade das raízes da equação biquadrada depende do sinal das raízes da equação resolvente, o que pode ser previsto pela consideração do sinal da soma b a − e do produto c . a
RESUMO:
Sendo a equação biquadrada ax4 + bx2 + c = 0 e formando a equação resolvente az2 + bz + c = 0, através da substituição x = z2 e tomando ∆, S e P como o determinante, a soma e o produto das raízes da equação resolvente, respectivamente, podemos montar o quadro abaixo.
OUTROS TIPOS DE EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AO 2o GRAU
Podemos usar a ideia da substituição de variável utilizada nas equações biquadradas para outras equações dos mais variados graus possíveis. Devemos basicamente ter um trinômio e perceber que nesse trinômio o monômio de maior grau o dobro do grau do segundo monômio e o terceiro monômio sempre do grau zero, ou seja um número real. Daí ax2n + bxn + 0 sempre permite a substituição z = xn .
Devemos também perceber isso quando tivermos raízes da variável.
Vamos resolver um exemplo com raiz na variável.
Vale a pena sempre estar atento à resolução de equações em que temos um trinômio veri cando se haverá a possibilidade de o grau de um monômio ser o dobro do outro monômio.
EQUAÇÕES RECÍPROCAS
Uma equação é dita recíproca se, substituindo-se x por 1 x , ela permanecer idêntica a ela mesma. Consideremos então a equação geral:
Podemos então afirmar:
“A condição necessária e suficiente, para que uma equação seja recíproca, é que os coe cientes dos termos equidistantes dos extremos sejam iguais ou simétricos”.
Se os coe cientes dos termos equidistantes dos extremos são iguais, a equação é dita recíproca de 1a espécie e se os mesmos forem simétricos a equação é dita recíproca de 2a espécie.
PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES RECÍPROCAS
1. Não há termo médio numa equação recíproca de 2a espécie e grau par. Com efeito, sendo este termo equidistante dos extremos, o seu coe ciente deveria ser ao mesmo tempo positivo e negativo. Logo, ele é nulo.
2. Toda equação recíproca de 1a espécie e grau ímpar admite o número (-1) como raiz.
Com efeito, consideremos a equação:
Substituindo-se x por 1, observamos que mais uma vez os termos equidistantes dos extremos anulam-se dois a dois, o que prova que 1 é raiz da equação.
RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES RECÍPROCAS
Vamos mostrar que a resolução de uma equação recíproca qualquer pode ser reduzida à resolução de uma equação de 1a espécie e grau par.
1o CASO:
A equação é de 2a espécie
Como vimos anteriormente, ela admite uma ou várias raízes iguais a 1, logo, podemos dividi-la, quantas vezes for necessário, por x – 1 até chegarmos a uma equação de primeira espécie. Se esta equação for de grau par, o problema está resolvido. Caso contrário, estaremos no:
2o CASO:
A equação é de 1a espécie de grau ímpar Como vimos anteriormente, ela admite a raiz (-1). Dividindo-a por
x + 1 obteremos uma equação recíproca de 1a espécie de grau par. Resumindo, podemos afirmar que depois de eliminar as raízes iguais a 1 ou a (-1) toda equação recíproca é da forma
as expressões entre parêntesis pelas expressões em z correspondentes, obteremos uma equação do grau n em z reduzindo assim o grau da equação original pela metade. Se as raízes desta nova equação em z forem 123 n z,z ,z , ,z os valores de x serão dados pelas equações do segundo grau em 12 n x,x , ,x :
