EQUAÇÕES E IDENTIDADES
Igualdade é a expressão de duas quantidades de mesmo valor, reunidas pelo sinal =. Há dois tipos de igualdades: identidades e equações.
IDENTIDADE é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às letras (variáveis).
Exemplo:
(x + a) ⋅ (x + b) = x2 + (a + b) ⋅ x + a ⋅ b
EQUAÇÃO é uma igualdade que se verifica apenas para certos valores particulares atribuídos às variáveis.
Exemplos:
a) 2x + 3 = 9 é uma equação e se veri ca apenas para x = 3.
Dizemos que x = 3 é uma raiz da equação.
b) x3 + y = 10 é uma equação que se veri ca para x = 2 e y = 2.
Dizemos que (2,2) é uma solução da equação x3 + y = 10.
PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES
Uma equação conserva as mesmas raízes acrescentando ou subtraindo aos seus dois membros uma mesma quantidade.
Uma equação conserva as mesmas raízes quando se multiplicam ambos os membros por um número diferente de zero.
Exemplo:
Resolva 3x – 5 = x + 9
3x – 5 x 9; somamos 5 aos 2 lados
3x = x + 14; somamos –x aos 2 lados
1 2x = 14; multiplicamos ambos os lados por 2
x 7 = + =
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
No conjunto dos números reais , chamamos de equação do primeiro grau toda equação da forma ax + b = 0, em que a e b representam números reais chamados coe cientes da equação e x é um número real chamado variável da equação.
Dada a equação ax + b = 0, quaisquer que sejam a, b, x ∈ , adicionando -b aos dois membros temos ax + b = 0 ⇔ ax = -b Para todo a não nulo e quaisquer que sejam b e x, multiplicando os dois membros da igualdade por a-1 temos
Se a = 0 e b ≠ 0 temos 0x = b para todo x e neste caso não existe x, tal que ax = -b (impossível). Se a = b = 0 qualquer que seja x, temos 0x = 0, portanto, todo x é solução da equação ax + b = 0 (possível e indeterminado).
DISCUSSÃO DA EQUAÇÃO DO 1° GRAU
Uma equação do 1° grau é possível e determinada quando possui uma única solução e pode sempre ser colocada na forma ax = b, com a ≠ 0.
Exemplo:
A equação 2x – 2 = x + 4 é possível e determinada, pois possui solução única como segue 2x – 2 = x + 4 ⇔ x = 6.
Uma equação do 1° grau é possível e indeterminada quando possui in nitas soluções e pode sempre ser colocada na forma 0 ⋅ x = 0. Portanto, qualquer x ∈ satisfaz essa equação.
Uma equação do 1° grau é impossível quando não possui nenhuma solução e pode sempre ser colocada na forma 0 ⋅ x = b, com b ≠ 0.
PRINCÍPIOS GERAIS PARA A RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES
Numa inequação podemos transpor um termo desde que o multipliquemos por -1.Resumindo, a + b > c ⇔ a > c – b.
Uma inequação não se altera quando multiplicamos todos os seus membros por um mesmo número positivo.
Resumindo, se k > 0, a > b ⇒ ka > kb.
Uma inequação não se altera quando multiplicamos todos os seus membros por um mesmo número negativo e simultaneamente, invertemos o sinal da desigualdade.
Resumindo, se k < 0, a > b ⇒ ka < kb.
INEQUAÇÃO DO 1o GRAU
É a inequação que possui apenas uma variável ou incógnita e que é do 1o grau.
Exemplo:
Resolva 3x + 1 < x + 5.
Resolução:
3x 1 x 5
3x 1 1 x 5 1
3x x x x 4
1 1 2x 4
2 2
x 2.
Em geral, as inequações possuem um número ilimitado de soluções quando resolvidas no conjunto dos reais, mas também podem possuir um número nito ou nenhuma solução.
