DIVISIBILIDADE
Definição: Sejam a, b inteiros com a ≠ 0. Diz-se que a divide b (denota-se por a|b) se existe c inteiro tal que b = ac. Se a não divide b, escreve-se a|b/ . Quando a|b, também dizemos que b é divisível por a, b é múltiplo de a ou ainda que a é divisor de b.
Exemplos:
1) 5|15, pois 15 = 5 x 3
2) 3|7/ , pois não existe inteiro n tal que 7 = 3n
Teoremas: Sejam a, b, c ∈ .
(i) a | 0, 1 | a e a | a
(ii) Se a | 1, então a = ±1.
(iii) Se a | b e c | d, então a·c | b·d.
(iv ) Se a | b e b | c, então a | c (transitividade).
(v) Se a | b e b | a, então a = ± b.
(vi) Se a | b, com b ≠ 0, então |a| ≤ |b|.
(vii) Se a | b e a | c, então a | (bx + cy), ∀x,y ∈ .
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é múltiplo de 2 se, e somente se, seu último algarismo for par.
Resto na divisão por 2: se o último algarismo é par, o resto é 0 e se o último algarismo é ímpar, o resto é 1.
Exemplo:
2 | 2344, pois 4 é par, mas 31441 não é múltiplo de 2, pois 1 é
ímpar. O resto de 31441 na divisão por 2 é 1.
DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos for múltipla de 3.
Resto na divisão por 3: resto da soma dos algarismos do número na divisão por 3.
Exemplo:
3 | 3459, pois 3 + 4 + 5 + 9 = 21 e 2 + 1 = 3, que é múltiplo de 3,mas 121 não é múltiplo de 3, pois 1 + 2 + 1 = 4 não o é. O resto de121 na divisão por 3 é 1.
DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é múltiplo de 4 se, e somente se, o número formado por seus dois últimos algarismos for múltiplo de 4.
Resto na divisão por 4: resto do número formado pelos dois últimos algarismos na divisão por 4.
Exemplo:
4 | 15684, pois 84 é múltiplo de 4, mas 14234 não é múltiplo de 4, já que 34 não o é. O resto de 14234 na divisão por 4 é 2.
DIVISIBILIDADE POR 5
Um número é múltiplo de 5 se, e somente se, seu último algarismo for 0 ou 5.
Resto na divisão por 5: resto do último algarismo na divisão por 5.
Exemplo: 5 | 995, pois o último algarismo é 5, mas 1003 não é múltiplo de 5, pois o último algarismo é 3. O resto de 1003 na divisão por 5 é 3.
DIVISIBILIDADE POR 6
Um número é múltiplo de 6 se, e somente se, for múltiplo de 2 e de 3.
Resto na divisão por 6: resto por 6 da soma do algarismo das unidades com o quádruplo da soma dos algarismos anteriores.
Exemplo:
6 | 120, mas 722 não é múltiplo de 6. O resto de 722 na divisão por 6 é o resto de 2 + 4 (7 + 2) = 2 + 36 = 38 na divisão por 6, que é 2.
DIVISIBILIDADE POR 7
Um número é múltiplo de 7 se, e somente se, a soma das classes ímpares menos a soma das classes pares for múltipla de 7.
Resto na divisão por 7: resto da soma das classes ímpares menos a soma das classes pares na divisão por 7.
Exemplo:
7 | 1638931720888, pois a soma das classes ímpares é 888 + 931
+ 1 = 1820 e a soma das classes pares é 720 + 638 = 1358, em que a
diferença é 462 = 66 ⋅ 7, que é múltipla de 7.
DIVISIBILIDADE POR 8
Um número é múltiplo de 8 se, e somente se, o número formado pelos três últimos algarismos for múltiplo de 8.
Resto na divisão por 8: resto do número formado pelos três últimos algarismos na divisão por 8.
Exemplo:
8 | 271824, pois 824 é múltiplo de 8, mas 31442 não o é, pois
442 = 55 ⋅ 8 + 2, em que o resto de 31442 na divisão por 8 é 2.
DIVISIBILIDADE POR 9
Um número é múltiplo de 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos for múltipla de 9.
Resto na divisão por 9: resto da soma dos algarismos do número na divisão por 9.
Exemplo:
9 | 1233, pois 1 + 2 + 3 + 3 = 9 é múltiplo de 9, mas 727 não
o é, pois 7 + 2 + 7 = 16 e 16 = 9 ⋅ 1 + 7, em que o resto de 727 na
divisão por 9 é 7.
DIVISIBILIDADE POR 10
Um número é múltiplo de 10 se, e somente se, seu algarismo das unidades for 0.
Resto na divisão por 10: o resto de um número na divisão por 10 é o algarismo das unidades.
Exemplo:
10 | 880, pois 880 termina em 0, mas 1003 não é múltiplo de 10 e seu resto na divisão por 10 é 3.
DIVISIBILIDADE POR 11
Um número é múltiplo de 11 se, e somente se, a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par for múltipla de 11.
Resto na divisão por 11: resto da diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par na divisão por 11.
DIVISIBILIDADE POR 13
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do algarismo das unidades, somado ao número sem algarismo das unidades, resultar em um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13.
Resto na divisão por 13: resto do número resultante do quádruplo do algarismo das unidades, somado ao número sem o algarismo das unidades quando dividido por 13.
DIVISIBILIDADE POR 17
Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do algarismo das unidades, subtraído do número que não contém este algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.
Resto na divisão por 17: resto do número resultante do quíntuplo (5 vezes) do algarismo das unidades, subtraído do número sem o algarismo das unidades quando dividido por 17.
DIVISIBILIDADE POR 2K
Um número é múltiplo de 2k se, e somente se, o número formado pelos seus k últimos algarismos for múltiplo de 2k .
Resto na divisão por 2k : resto do número formado pelos k últimos algarismos na divisão por 2k .
DIVISIBILIDADE POR 5K
Um número é múltiplo de 5k se, e somente se, o número formado pelos seus k últimos algarismos for múltiplo de 5k .
Resto na divisão por 5k : resto do número formado pelos k últimos algarismos na divisão por 5k .
DIVISIBILIDADE POR 10K
Um número é múltiplo de 10k se, e somente se, seus k últimos algarismos forem zeros.
Resto na divisão por 10k : o resto é o número formado pelos k últimos algarismos.
ProBizu
Se um número N é divisível por um número P, em que P pode ser decomposto nos fatores a ⋅ b, então N é divisível ao mesmo tempo por a e por b.
Exemplo: para um número ser divisível por 14, em que 14 = 2 ⋅ 7, esse número deve ser ao mesmo tempo divisível por 2 e por 7, ou seja, deve obedecer a regra de divisibilidade por 2 e por 7 ao mesmo tempo.
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
Considerando todos os possíveis restos para cada quociente em uma divisão de quociente n ∈ *, podemos representar todos os números inteiros da seguinte forma:
n · k; n · k + 1; n · k + 2; …; n · k + (n – 1); em que k ∈ .
Exemplificando, é possível representar todos os números inteiros como:
2k
k
2k 1
∈
+
3k
3k 1 k
3k 2
+ ∈
+
4k
4k 1 k
4k 2
4k 3
+ ∈ +
+
5k
5k 1 k
5k 2
± ∈
±
Exemplo: Prove que todo quadrado perfeito deixa resto 0 ou 1 na divisão por 4.
Nesse caso, é interessante usar o divisor 2 para representar os números inteiros, pois, ao serem elevados ao quadrado, aparecerão números 4.
Assim, os inteiros podem ser representados pelos números: 2k e 2k + 1, com k ∈ .
Os quadrados perfeitos são da forma:
(2k)2 = 4k2 → resto 0 por 4.
(2k + 1)2
= 4k2
+ 4k + 1 = 4 · (k2
+ k) + 1 → resto 1 por 4.
Logo, todo quadrado perfeito deixa resto 0 ou 1 na divisão por 4.
